大学生の雑記

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2024-12-04

線形作用素Tが単射であることとKerT=0が同値であることの証明

数学関数解析

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線形作用素 $T:X\to Y$ が単射であることと $\mathrm{Ker}T=0$ は同値であることを証明します。
➀十分性
$T$ が単射であるとする。このとき $\psi\ne\phi\Rightarrow T\psi\ne T\phi$ が成り立つので、 $T\psi=0$ となる $\psi$ は $0$ のみである。よって $\mathrm{Ker}T=0$ 。

➁必要性
$\mathrm{Ker}T=0$ であるとする。 $T\psi=T\phi$ のとき $T\psi-T\phi=T(\psi-\phi)=0$ で、 $\mathrm{Ker}T=0$ であるから $\psi-\phi=0\Leftrightarrow \psi=\phi$ 。これは単射を意味する。

以上より単射であることと $\mathrm{Ker}T=0$ が同値であることが示された。