A, Bは正則行列⇔ABは正則行列の証明

行列 $A,B$ が正則であることと $AB$ が正則であることは同値であることを証明する。
➀十分性
$AB=M$ とすると、
\begin{align}
A&=ABB^{-1}=MB^{-1}\\
I&=AA^{-1}=ABB^{-1}A^{-1}=MB^{-1}A^{-1}=MC\\
\end{align}
同様に
\begin{align}
B&=A^{-1}AB=A^{-1}M\\
I&=B^{-1}B=B^{-1}A^{-1}M=CM\\
\end{align}
よって $I=MC=CM$ が成り立つので $M$ は正則で、その逆行列は $C=B^{-1}A^{-1}$ 。

➁必要性
$AB$ は正則より、逆行列 $C=(AB)^{-1}$ が存在して $MC=CM=I$ 。よって
\begin{align}
I&=MC=AB(AB)^{-1}\\
A^{-1}&=A^{-1}AB(AB)^{-1}=B(AB)^{-1}\\
AA^{-1}&=AB(AB)^{-1}=I\\
\end{align}
また
\begin{align}
I&=CM=(AB)^{-1}AB\\
B^{-1}&=(AB)^{-1}ABB^{-1}=(AB)^{-1}A\\
B^{-1}B&=(AB)^{-1}AB=I\\
\end{align}
したがって $A,B$ は正則。