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円周率を導出する式を複素数平面から思いついたので作ってみた

つくってみた、と言いましたが1年ほど前につくった式です。

1年ほど前に複素数平面を習った時、1のn乗根が正n角形を表すことを知ってピンときました。

「もしかしたら正多角形の周の長さを座標から計算したら円周に近似させられるのでは?」と。

ちょうど座標の中にnも入るのでnを無限大に飛ばせば極限値も取れますし、何かと都合が良さそうだなと思いました。

そう思って紙に書いてみたのがこちら。
f:id:coronene:20210129012629p:plain


人に見せるつもりはなかったので説明が割と雑です。

まず左図ですが、複素数平面に半径1の円に内接する正n角形を簡略化して書いています。

正n角形の頂点の部分は極形式を用いてcos(2πk/n)+isin(2πk/n) (k=0,1,2,…)と表せるので、図に書いてある座標はcos(2π/n)+isin(2π/n)となります。

すると正n角形の一辺の長さsは、三平方の定理を用いて右の計算の通りになります。

あとは右下の説明通りです。

n→∞でπになるはずです。


この式が成り立つのかをpythonで確かめてみました。
まずは試しに小さい数字を代入します。
下のコードはx=8、つまり正八角形のときの値を出します。

import math
x=8
pi=math.pi
cos=math.cos
print((x/2)*(2-2*cos(2*pi/x))**0.5)

すると値はこのようになりました。

3.061467458920718

値が小さいので微妙な数字ですね。
ちなみにこの時点で東大の有名な入試問題「円周率が3.05より大きいことを証明せよ」の証明が完了しています。

次はもっと大きな数字を代入します。
大きすぎるとなぜか値が0.0になってしまうので、x=1000000を代入します。

import math
x=1000000
pi=math.pi
cos=math.cos
print((x/2)*(2-2*cos(2*pi/x))**0.5)

すると値は

3.141592770102689

となり、3.141592までは一致しました。
かなり収束速度が遅いことがわかりますね。

最後に極限値を計算してみます。
f:id:coronene:20210129163317j:plain
ちゃんとπに収束することがわかりました。

最後まで読んでいただきありがとうございました。

地理Bまとめ② - アフリカの農業

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

地理Bまとめ① - ヨーロッパの言語・民族・宗教

〈言語〉

 ラテン語族  南部を中心に分布

 イタリア語、フランス語、スペイン語ポルトガル語ルーマニア語などが当てはまる。
ルーマニア周辺国はスラブ語族の国が多いが、ルーマニアはラテン人が作った国なのでラテン語族。(Romaniaは「ローマ人の国」の意)

 

 ゲルマン語族  北西部を中心に分布

 イギリス語、ドイツ語、オランダ語スウェーデン語、デンマーク語、ノルウェー語、アイスランド語などが当てはまる。
北欧諸国はだいたいゲルマン語族。ただしフィンランド語はウラル語族

 

 スラブ語派  東部を中心に分布

  ポーランド語、チェコ語スロバキア語などの東ヨーロッパ諸国の言語が当てはまる。

 

 ウラル語族

 フィンランド語、ハンガリー語

 

 公用語

 スイスの公用語は、ドイツ語、フランス語、イタリア語、ロマンシュ語の四つ。

ベルギーの公用語は、オランダ語、フランス語、ドイツ語の三つ。
他にワロン語フラマン語(オランダ語のようなもの)がある。→フラマン人とワロン人の言語紛争

 

〈民族〉

  ラテン系、ゲルマン系、スラブ系に大きく分けられ、基本的に語派と民族の分布は同じ。
周囲を他の民族分布地域に囲まれ、離島のように分布している民族地域のことを指す民族島がある。→ハンガリーのマシャール人、フィンランドのフィン人、ルーマニアルーマニア

 

〈宗教〉

 キリスト教が主

 ウラル系のハンガリーフィンランドについては、ハンガリーカトリックフィンランドプロテスタント

 アルバニアボスニアヘルツェゴビナコソボなどヨーロッパ南東部ではイスラム

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

            

地理Bまとめ⑦ - ラテンアメリカの農牧業

 

ブラジル南東部、アルゼンチン

セラードと呼ばれるサバナ気候の疎林帯→ブラジル南東部

ここからアルゼンチンにかけて肉牛の飼育

 

パンパ(ラプラタ川、ブエノスアイレス周辺)

小麦の栽培、トウモロコシの栽培と肉牛の放牧を行う混合農業

東側:湿潤パンパ(川に近いほう)で小麦、トウモロコシの栽培、肉牛の飼育

西側:乾燥パンパで羊の放牧

大西洋沿岸部

プランテーション農業:サトウキビ、バナナ、コーヒー豆

ブラジル東部の突き出ている部分やペルーなどに多い

ブラジル高原→テラローシャ(赤紫色)→コーヒー豆

セルバ

セルバはアマゾン川流域の熱帯雨林

熱帯雨林焼畑農業→キャッサバ(南米原産)、豆類

中央アンデス

標高が

~約2300mまで:熱帯作物を栽培

 約2300~約3200m:トウモロコシを栽培

 約3200m~約3600m:
イモ類栽培
ジャガイモはアンデス高地原産

 約3600m~約4800m:
リャマ、アルパカの放牧
チチカカ湖はこの辺りにある

地理Bまとめ⑧ - アメリカの工業

工業地域

ニューイングランド

〈ボストン〉

繊維・皮革・造船・機械

エレクトロニクスハイウェー(エレクトロニクス産業が集積)

五大湖から右に行った東海岸、ニューヨークの近く

 

〈ハートフォート〉

精密機械・印刷・航空機

中部大西洋岸

〈ニューヨーク〉

ハドソン川河口の港湾都市

印刷・衣料品・食料品・化粧品などの都市型工業

 

フィラデルフィアボルティモア

輸入原料に依存、重化学工業都市

五大湖沿岸

デトロイト

自動車工業都市五大湖に面する

 

ピッツバーグ

「鉄の町」→鉄鋼不足→ハイテク産業都市

 

〈シカゴ〉

大農業地帯→食品加工、食品工業

中西部

ミネアポリスセントポール

ミシシッピ川中・上流、春小麦地域の中心

製粉業が盛ん 

 

カンザスシティ

ミズーリ川下流、冬小麦地域の中心

製粉業、食肉加工が盛ん

 

セントルイス

ミシシッピ川中流

製粉、農業機械、自動車生産

南部

〈オークリッジ〉

TVA開発→原子力工業

 

〈バーミングハム〉

アパラチア山脈南端、鉄鋼業

太平洋岸(西海岸)

 

地理Bまとめ⑥ - 民族問題

 

民族問題

北アイルランド紛争

イギリスの北アイルランド

多数派のイギリス系住民(プロテスタント)vs少数派のケルト系住民(カトリック

ユーゴスラビア問題

ユーゴスラビア解体で旧ユーゴスラビアを構成していた国が独立→各国内で民族・宗教対立

ボスニア・ヘルツェゴビナでは内戦にまでなった。

セルビアで、人口の九割を占めるアルバニア系住民が独立運動コソボ独立

フラマン人とワロン人の言語紛争

ベルギー

北部のオランダ語系フラマン人vs南部のフランス語系ワロン人

バスク人独立運動

スペインとフランスの国境地帯に移住しているカトリック系のバスク人独立運動を展開。

チェチェン紛争

黒海カスピ海の間 チェチェン共和国

チェチェン共和国がロシアからの独立宣言をして始まった。

パレスチナ問題

1948年パレスチナユダヤ人国家イスラエルが誕生。

この地から追放されたパレスチナ人とそれを支援するアラブ諸国vsイスラエル

イギリスの三枚舌外交のせい。

クルド人独立運動

黒海カスピ海の近くのトルコ、シリア、イラク、イラン周辺にまたがって移住しているクルド人独立運動

クルド人は国家を持たない。

キプロス紛争

トルコの下にある地中海の島キプロス共和国

北部の少数派トルコ系住民(ムスリム多い)vs南部の多数派ギリシャ系住民(ギリシャ正教多い)

チュニジア

アフリカの一番上のくぼみに見える部分の左側にある国

SNSによる民衆の連携で長期独裁政権を倒した。(2011年)

これが飛び火し、エジプトやリビアでも独裁政権が倒された。

一連の出来事を「アラブの春」という。

ビアフラ戦争

ナイジェリア(ギニア湾岸のでかい国)

南部の油田地帯にすむキリスト教徒のイボ人が独立宣言→北部のイスラム教徒のハウサ人・フラニ人が反発→内戦

終戦後、南部ラゴス→中央部アブジャに遷都

南スーダン紛争

南スーダン

2011年スーダンから分離独立。

独立後も石油などの利権争いとともに政府と反体制派が武力衝突。

ダルフール紛争

スーダン

2003年政府に反発する二つの黒人勢力が西武で武装蜂起。

国連が、「世界最悪の人道危機」と指摘。

ルワンダ内戦

アフリカ最大の湖ヴィクトリア湖の隣 ルワンダ

フツ族(多数派)vs ツチ族(少数派、旧支配層)

大量のフツ族が国外逃亡→深刻な難民問題

その後の復興は「アフリカの奇跡」と呼ばれている。

カシミール紛争(問題)

カシミール州のムスリムによる分離独立運動

インド北辺部を中心にヒンドゥー教徒vsイスラム教徒

スリランカ民族紛争

国内最大のシンハラ人(人口の82%、仏教徒)vsタミル人(9%、ヒンドゥー教徒

2009年タミル人側制圧、終結

ウイグル族独立問題

イスラム教徒のウイグル族が中国統治に強く反発。

ミンダナオ紛争

フィリピン南部ミンダナオ島を中心に展開されるムスリム(モロ諸族)による独立運動

ニューカレドニア独立運動

メラネシア系住民がニッケル鉱山の利権をめぐり、フランスからの独立運動